Knjiga 1Pre nekoliko godina moj otac i ja smo napisali veliku knjigu, koja po sadržaju nema konkurenciju na našem jeziku. U njoj su predstavljene teme iz nekoliko oblasti prirodnih nauka: astronomije, nuklearne fizike, matematike, elektrotehnike, geologije, itd. Na koji način su pisani tekstovi, koji nivo znanja i informisanosti pokriva i kome se knjiga obraća?
Danas bih predstavio jedan od uvodnih tekstova iz knjige, koji govori o počecima matematike.


 Prve primitivne oznake brojeva i veličina srećemo još na drevnim pećinskim crtežima i primitivnim oruđima. Međutim, proći će još hiljade godina pre nego što prva merenja prerastu u apstraktni koncept brojeva kakav danas koristimo.

Smatra se da su kulture mesopotamijskog regiona razvile upotrebu pisanih brojeva oko III milenijuma pre Hrista. Posebno su se izdvajali Vavilonci, koji su prilično precizno odredili veličinu broja π, koristili razlomke, i rešavali složene kvadratne jednačine. Zahvaljujući mnogim osvajačkim ratovima, mesopotamijska znanja iz matematike i astronomije su se raširila po regionu, a njihove ideje su fundamentalno uticale i na kulture u Evropi i Kini.

I kineski matematičari su takođe akumulirali znanja od davnina. Najraniji sačuvani radovi, koji potiču sa polovine prvog milenijuma, sadrže detaljne astronomske proračune, ali i premeravanja zemljišta, žita, i slične praktične probleme. Kinezi su pokazivali veliko interesovanje za raspored brojeva, tako da magični kvadrati[1] predstavljaju samo jedan od njihovih pronalazaka.

Najstariji egipatski matematički spisi su tzv. Moskovski i Rindov papirus. Moskovski dokumenat (”Matematički papirus Goleniščeva”), datiran oko 1890. godine pre Hrista, sadrži brojna praktična rešenja geometrijskih problema vezanih za proračune površina i zapremina. Rindov (ili Ahmesov) papirus potiče iz 1650 p.n.e. i čini kompilaciju kopija mnogih ranijih izvora. U njemu su između ostalog dati mnogi primeri razlomaka, a čitav tekst je pisan u obliku aritmetičkih problema koji se tiču praktičnih potreba. Tekst se uglavnom odnosi na sabiranja i oduzimanja, ali takođe pokazuje i skraćena množenja i proporcije. Na Rindovom papirusu se nalazi najraniji do danas sačuvani algebarski problem.

Vremenom su egipatske matematičare apsorbovali Grci, koji su oduvek na Egipćane gledali kao na osnivače matematike. Prvi udžbenik algebre[2] sastavio je Diofant (grč. Διοφαντος) iz Aleksandrije (III vek), rimski naučnik koji je pisao u grčkom maniru. U to vreme algebra je bila sporedna grana matematike, ali to je izmenio opsežni rad arapskog naučnika Muhameda ibn-Muse (788-847), poznatog i kao al-Hvarizmi. Današnja reč ”algoritam” izvedena je iz njegovog imena.

Brojevi su jednako često izučavani zbog svojih mističnih svojstava, kao i zbog matematičke važnosti. Pitagoru (569-475 p.n.e.) i njegove mnogobrojne sledbenike naročito su interesovali brojevi specijalnih svojstava, kao što su recimo primarni brojevi. Oni su takođe otkrili tzv. savršene[3] i prijateljske[4] brojeve. Mada su Pitagorina mistična tumačenja imala veliki uticaj na kasnije matematičare, ipak je ostao najviše upamćen po poznatoj teoremi o pravouglim trouglovima koja nosi njegovo ime. Geometrija je vremenom sazrela i postala velika preokupacija starih matematičara.

Grčki matematičari, kao što su bili Tales iz Mileta (624-547) i Pitagora, putovali su po Egiptu i Vaviloniji i izučavali osnove geometrije. Oni su iz osnova promenili pristup problemima, uvodeći deduktivni metod zaključivanje. Tales je u nauku uveo prve geometrijske teoreme, koje su kasniji mislioci širili i produbljivali. Euklid (325-265) je rešio da sve teoreme prethodnika sakupi u svoje ”Elemente”, koji će postati klasično geometrijsko štivo tokom sledećih 2000 godina. Kasniji geomertričari, poput Arhimeda (287-212) i Apolonijusa iz Perga (262-190) nastavili su da otkrivaju i uvode sve novije i složenije teoreme.

U antičko vreme među grčkim matematičarima se raspravljalo o tzv. Velikim problemima, koji su zaokupljali moždane kapacitete bezbrojnih matematičara i tokom sledećih vekova. Udvostručavanje zapremine kocke se smatralo najpoznatijim problemom tog vremena, i svaki grčki mislilac koji je držao do sebe pokušavao je da ga reši. Hipokrat sa Hiosa (oko 460 p.n.e.) napravio je prve značajnije korake, a nešto kasnije Arhitas iz Tarenta (428-350) predložio je jedno elegantno, mada prilično komplikovano rešenje. Međutim, najupečatljiviji je bio rad Menaehmusa (380-320), koji ne samo da je predložio dva rešenja problema, već je izneo i fundamentalna rešenja konusnih preseka, elipse, parabole i hiperbole.

Međutim, druga dva Velika klasična problema, kvadratura kruga i trisekcija datog ugla, opstali su nerešeni. Iako problemi na prvi pogled izgledaju zavaravajuće lako, naročito kvadratura kruga, ovi zadaci su mučili mnoge naučnike bezmalo četiri milenijuma. Nemoguće je konstruisati kružnicu i kvadrat iste površine jer je vrednost broja π zapravo iracionalan broj[5]. Rešavanje tog problema, mada za praktične potrebe beskorisno, dovelo je do vrlo preciznih aproksimacija broja π.

Trisekcija ugla izgleda kao banalan problem, i on to i jeste za određene uglove. Međutim, ne postoji nikakva geometrijska metoda za podelu datog ugla na tri dela uz pomoć samo lenjira i šestara, iako i danas mnogi amaterski matematičari pokušavaju da reše ovaj nerešivi problem[6].

Kroz čitavu istoriju, praktični problemi u astronomiji izazivali su sve veću potrebu za proučavanjem trigonometrije, što se vidi i iz podatka da su se mnogi stari matematičari najviše interesovali za astronomiju. Prvi veliki rad u kome su tretirane trigonometrijske funkcije potpisao je grčki matematičar i astronom Hiparh (190-120 p.n.e.), koristeći mnoge vavilonske ideje. Eratostenu (276-194 p.n.e.) polazi za rukom da uz pomoć trigonometrije izračuna obim Zemlje sa zapanjujućom tačnošću. Kasniji radovi aleksandrinaca Menelaja (100-170) a naročito Ptolomeja (85-165 n.e.) razvili su polje trigonometrije i proširili njenu praktičnu upotrebu.

Matematika se takođe koristila za postavljanje i rešavanje brojnih logičkih zagonetki. Grčki mislilac Parmenid (515-445) i njegov učenik Zenon iz Eleje (490-425) koristili su mnoge interesantne logičke zagonetke sa matematičkim implikacijama. Zenonovi paradoksi (”aporije”) zasnivali su se na ideji o beskonačnom, nečemu što je brinulo brojne grčke filozofe. Zenon je upotrebljavao matematičku logiku da dokaže da je kretanje zapravo nemoguće. Bilo je očigledno da to nije tačno, ali njegovi matematički dokazi su izgledali toliko čvrsti da su mnogi grčki mislioci promenili svoja shvatanja sveta.

mat1
Na graviri
Gregoriusa Reischa”Margarita Philosophicd, (Štrasburg, 1508.) prikazano je takmičenje u računanju gde jedan matematičar koristi pero i hartiju, a drugi račinsku tablu. Pobedio je ovaj drugi.

Iako je Rimska imperija prihvatila većinu grčkog i egipatskog učenja, mnoge grane matematike ih nisu interesovale. Rimski brojevi, koji su nastali kao derivati grčkog i egipatskog numeričkog sistema, prikazivali su svaki broj kao jedinstvenu grupu simbola. U Evropi su predstavljali dominantni sistem brojeva stotinama godina, a čak i danas se koriste u nekim specifičnim situacijama. Međutim, rimski sistem se pokazao nepogodnim za prikazivanje velikih brojeva, a praktično nemoguć za složene računske operacije.

    Jedan od najranijih matematičkih pomagala je bila računska tabla, ravna površina sa nacrtanim linijama po kojima je matematičar pomerao kamenčiće. Vremenom je od takve table nastao abakus, drveni ram sa vođicama i pokretnim kuglicama. Takva sprava je omogućavala mnogo lakše i brže računanje, ali je ograničavala razvoj matematičke teorije, jer su korisnici više obraćali pažnju na rezultat a manje na proces.

I računska tabla i abakis su koristili mesni, ili pozicioni sistem, u kome se korišćenjem malog broja simbola (žetona ili kuglica) na različitim pozicijama mogu prikazati svi brojevi. U našem dekadnom sistemu, baziranom na broju 10, u prvoj koloni su predstavljene jedinice, u drugoj desetice, u trećoj stotice, itd. Druge kulture su razvile drugačije numeričke sisteme, kao npr. Vavilonci, koji su se bazirali na broju 60, ili Maje iz Srednje Amerike, koji su kao osnovu koristili broj 20. Jedna od velikih prednosti prikazivanja brojeva u mesnom sistemu jeste lakše računanje.

Pomenuti mesni sistem je neminovno stvorio potrebu za simbolom koji predstavlja ”ništa”, odnosno nulu. Prilikom upisivanja rezultata dobijenog računskom tablom, recimo 203, nastajala je zabuna kada u njemu na nekom mestu nije bilo ničega, tj. kada je recimo mesto desetica bilo prazno. U rimskom označavanju s time nije bilo problema - rezultat je CCIII - tako da na Zapadu nije postojala potreba za nulom. Međutim, mesno predstavljanje je zahtevalo oznaku za prazan prostor, pa su nulu nezavisno jedni od drugih otkrili Vavilonci, Indusi i Maje.

U Indiji, nula je postala više od oznake i dobila je puna svojstva broja. To znači da je zapisivano računanje postalo jednako lako i razumljivo kao na računskoj tabli, što je vodilo ka novom razumevanju računskih pravila. Indijska nula je takođe pomogla da se lakše barata sa velikim brojevima. Ideja o nuli je uzrokovala mnogo glavobolja filozofima širom sveta, jer je koncept o ”ničemu” bio još kompleksniji od pominjanja beskonačnog.

Nakon propasti Rimskog carstva, veliki deo antičkog učenja i filozofije za Evropu je bio izgubljen, ali je nastavio da se proučava, prepisuje i cveta u arapskom svetu. Njihovi matematičari su apsorbovali znanja mnogih okolnih kultura, uključujući Vavilonce, Asirce i Induse. Ta snažna mešavina matematičkog i astronomskog znanja je bila destilisana, razvijana i tokom Krstaških ratova prenošena u Evropu. Kada su istočnjačka učenja konačno prihvaćena, to je dovelo do revolucije u matematici, redefinisanju njenih grana i uvođenju matematike u modernu eru.

* * *

Knjiga 1Čitava knjiga je podeljena u velika poglavlja, a ova u različite manje priče. Pošto sam se držao hronologije, logičnoje da knjiga započinje poglavljem NASTANAK ZVEZDA I SUNČEVOG SISTEMA, u kome sam objasnio poznate teorije o nastanku i evoluciji zvezda, a u tom svetlu i nastanak našeg bližeg i daljeg komšiluka. Sledilo je poglavlje OTKRIĆA PLANETA I NJIHOVIH SATELITA, u kome sam koncizno opisao svaku planetu ponaosob, zajedno sa njihovim pratiocima. Nisam mogao da izdržim, pa sam u našu porodicu planeta ipak uključio i Pluton, iako on to de facto više nije bio. Pošto našu porodicu ne čine samo planete i njihovi sateliti, u nastavku sam pisao i o malim planetama – asteroidima, NEA objektima, trans-neptunskim objektima, vansolarnim planetama, itd. Hteo bih da naglasim da je svaka priča o pojedinačnoj planeti i njenih mesecima obogaćena vrednim i jedinstvenim tabelama, u čijem sastavljanju sam koristio retke podatke sa sajtova i knjiga bardova tematike, dr Majkla Brauna (Michael Brown) i njegovih kolege dr Čedvika Truhilja (Chadwick Trujillo) i Dejvida Rabinovica (David Rabinowitz). Neizostavno bih želeo da pomenem da sam u pisanju ovog poglavlja koristio podatke iz najboljeg u tom trenutku sajta po pitanju objekata solarnog sistema na Internetu, koji je svakodnevno ažurirao njegov autor, amaterski astronom iz Poljske, Andrej Karon, sa kojim sam i privatno sarađivao a čije su ingeniozne tabele bile objavljivane i na sajtu „Astronomskog Magazina“. To je tada bio najbolji sajt na svetu i sadržavao je proračune i podatke koje nije imao niko drugi.

Posle ovih poglavlja usledilo je poglavlje DVOJNI SISTEM ZEMLJA-MESEC, u kome su detaljno objašnjene teorije o nastanku Meseca, njegovom uticaju na klimu naše planete, njegovim „mesecima“, atmosferi i neizostavnim „Apolo“ misijama.

Kakva bi knjiga ovog tipa bila a da se na kraju ne ispriča priča o našoj planeti? Pored izuzetno zanimljivog geološkog putovanja kroz istoriju Zemlje i njenu evoluciju, sledi priča o nastanku života, pojavi čoveka, nastanku rasa, ljudskim pronalascima vatre, pisma, knjige, itd.

U drugom, neobjavljenom tomu, iz koga je danas predstavljeni tekst, u poglavlju o poznatim ali i onim potpuno zaboravljenim matematičarima drevnog sveta, opisao sam radove 25 matematičara iz Kine, Indije, arapskog sveta, Grčke i Evrope i probleme s kojima su se susretali. Da bih poglavlje kompletirao, napisao sam priču o znamenitom naučniku, matematičaru i jezuiti, Ruđeru Boškoviću, i danas možda najvećem skrivenom geniju, „čoveku koji je otkrio suštinu svega“, Stivenu Volframu. To je i neizostavna Sipsonova univerzalna formula, pomoću koje je moguće izračunati površinu i zepreminu svega.

Ako zaključiš da su tvoja interesovanja vezana za teme koje ove knjige „pokrivaju“, prvu možeš naučiti ili preko mene lično (Ova adresa el. pošte je zaštićena od spambotova. Omogućite JavaScript da biste je videli., odn. 063/15.74.74.8) ili preko našeg sajta. Cena je simbolična, i biće 680,00 din. Prva knjiga ima 400 strana, dimenzija je B5, sa puno originalnih tabela, šema, c/b slika i zanimljivih kompilacija i priloga.

 


[1]Kvadrati koji sadrže jednake redove i kolone brojeva složene tako da suma u svakom redu, koloni, a često i u dijagonali jednaka

[2](Arap. al–jebr); grana matematike koji istražuje odnose i svojstva brojeva uz pomoć opštih znakova ili simbola.

[3]To su celi brojevi koji predstavljaju zbir celih pozitivnih delilaca, koji uključuju 1 ali ne i sam broj. To je broj čiji zbir delilaca daje polovinu tog broja. Prvi savršeni broj je 6, zato što su 1, 2 i 3 pozitivni delioci, a 1+2+3 = 6. Sledeći je 28 (1+2+4+7+14 = 28), pa 496 i 8.128 itd. Prva četiri broja je otkrio Euklid uz pomoćformule 2n-1(2n1). [Peti savršeni broj je 33.550.336 = 212(2131).]

[4]To su dva različita broja koje povezuje to što su zbirovi delilaca jednog broja jednaki onom drugom broju. Recimo, 220 i 284; delioci broja 220 su 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je 284; a delioci broja 284 su 1, 2, 4, 71 i 142, a zbir je 220. Opštu formulu za ove brojeve dao je oko 850. arapski astronom i matematičar Tabit ibnKura (Thabit ibn Qurra, 826901).

[5]Skup brojeva koje je nemoguće predstaviti količnikom celih brojeva.

[6]1837. godine francuski matematičar Pjer Vencel (Pierre Wenztel) je objavio da je definitivno zaključio da je uz pomoć lenjira i šestara moguće rešiti problem trisekcije ugla. Ali kao bomba je odjeknula vest objavljena 2002. da je jedan mladi programer sa Haitija, Leon Romain, uspeo da reši ovaj problem. I Slobodanka Savić, učiteljica srednje škole iz Mrkonjića, patentirala je jedno svoje rešenje.

 

Draško Dragović
Author: Draško Dragović
Dipl inž. Drago (Draško) I. Dragović, napisao je više naučno popularnih knjiga, te više stotina članaka za Astronomski magazin i Astronomiju, a učestvovao je i u nekoliko radio i TV emisija i intervjua. Interesuje ga pre svega astronautika i fizika, ali i sve teme savremenih tehnologija XXI veka, čiji detalji i problematika često nisu poznati široj čitalačkoj publici. Izgradio je svoj stil, lak i neformalan, često duhovit i lucidan. Uvek je spreman na saradnju sa svojim čitaocima i otvoren za sve vidove komunikacije i pomoći. Dragovićeve najpoznatije knjige su "KALENDAR KROZ ISTORIJU", "MOLIM TE OBJASNI MI" i nova enciklopedija "NEKA VELIKA OTKRIĆA I PRONALASCI KOJA SU PROMENILA ISTORIJU ČOVEČANSTVA"

Zadnji tekstovi:


Komentari   

drago
0 #3 drago 27-04-2015 12:29
Zdravo Miljenko.
Nažalost tek sam sad video tvoje komentare. Izvini.
Ako pročitaš ovo, da kažem: ako ne dobijem uskoro na LOTO onda od štampanja druge knjige neće biti ništa. Verovao ili ne, štampanje kod mog dugara I sa svom mojom pripremom u obimu od 99%, košta oko 3000 evra!
ali ako se javiš na moj mail dragovic.56"poe n.telekom.rs ili na 063 1574748 napravićemo neki dogovor.
Hvala
Miljenko
0 #2 Miljenko 12-04-2015 11:58
Pozdrav!
Kada će izaći druga knjiga i klika je cena poštarine?
Miljenko
0 #1 Miljenko 11-04-2015 01:26
Pozdrav!
Drasko, kako se zove knjiga tacno i kada ce biti dostupan drugi deo?
P.S. Kolika je postarina i kako saljete?

Dodaj komentar


Sigurnosni kod
Osveži